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Cinquième · Mathématiques · Chapitre 10

Solides : perspective cavalière, patrons, aire du disque, volumes du prisme droit et du cylindre

Ce que tu sauras faire

  • Dénombrer les cubes d'un empilement à partir d'un plan coté et reconnaître ses vues de face et de côté.
  • Représenter en perspective cavalière un cube, un pavé droit, un prisme droit et un cylindre de révolution.
  • Reconnaître et construire le patron d'un pavé, d'un prisme droit et d'un cylindre, et le relier à sa perspective.
  • Calculer le volume d'un cube, d'un pavé droit et d'un prisme droit avec la formule aire de la base × hauteur.
  • Convertir des unités de volume et de capacité, en utilisant 1 L = 1 dm³.
  • Calculer l'aire d'un disque et expliquer d'où vient la formule π × r × r.
  • Calculer le volume d'un cylindre de révolution et résoudre un problème qui mélange plusieurs solides.

Au programme du chapitre

  1. Empilements de cubes : compter, regarder de face et de côté
  2. La perspective cavalière : dessiner un solide sur une feuille
  3. Prismes droits et cylindres : les décrire et les dessiner
  4. Les patrons : mettre un solide à plat
  5. Le volume du cube, du pavé droit et du prisme droit
  6. L'aire du disque
  7. Le volume du cylindre de révolution
  8. Résoudre un problème avec des solides

Exercices corrigés

Exercice 1

Sur le dessin d'un cube en perspective cavalière, la face du dessus ressemble à un parallélogramme, alors que c'est un carré dans la réalité. Explique pourquoi. Quelles faces du dessin sont de vrais carrés ?
Un coup de pouce
Quelles faces sont parallèles à la feuille ? Que devient un angle droit quand une des arêtes part en fuyante ?
Voir la correction pas à pas
Seules les faces de face, c'est-à-dire parallèles à la feuille, sont dessinées en vraie grandeur : ce sont la face avant et la face arrière, qui apparaissent comme de vrais carrés. Les autres faces contiennent des arêtes fuyantes, dessinées à 45∘45^\circ et réduites de moitié : leurs angles droits ne sont pas conservés. Comme deux droites parallèles restent parallèles sur le dessin, ces faces apparaissent comme des parallélogrammes.

Exercice 2

Sur le dessin en perspective cavalière d'un pavé (coefficient de réduction 12\frac{1}{2}), Inès mesure une arête fuyante : elle trouve 2,52{,}5 cm. Elle en conclut que l'arête du pavé mesure 2,52{,}5 cm. A-t-elle raison ?
Un coup de pouce
Que fait le coefficient de réduction à la longueur réelle de la fuyante ? Que faut-il faire pour revenir en arrière ?
Voir la correction pas à pas
Non. Sur le dessin, une fuyante est dessinée deux fois plus courte que dans la réalité : le coefficient de réduction est 12\frac{1}{2}. La vraie longueur est donc le double de la longueur mesurée : 2×2,5=52 \times 2{,}5 = 5 cm. L'arête du pavé mesure 5 cm, et non 2,52{,}5 cm. Les arêtes qui ne sont pas fuyantes, elles, se mesurent directement.

Les pièges à éviter

  • Dessiner la face de devant d'un cube comme un parallélogramme, ou tous les angles droits comme des angles droits sur le dessin.
  • Mesurer une fuyante sur le dessin et croire que c'est la vraie longueur de l'arête.
  • Compter seulement les cubes qu'on voit sur le dessin d'un empilement.
  • Croire que six carrés collés forment toujours un patron de cube.

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