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Cinquième · Mathématiques · Chapitre 8

Triangles : somme des angles, constructions, médiatrices, hauteurs, médianes et aire

Ce que tu sauras faire

  • Calculer la mesure du troisième angle d'un triangle et démontrer que la somme des angles vaut 180°.
  • Reconnaître un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle sur un schéma codé, et en déduire ses angles.
  • Construire un triangle à la règle, au compas et au rapporteur à partir de données partielles : trois côtés, deux côtés et l'angle compris, un côté et deux angles.
  • Tracer la médiatrice d'un segment et le cercle circonscrit à un triangle, en particulier dans un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle.
  • Tracer les trois hauteurs d'un triangle et nommer leur point de concours, l'orthocentre.
  • Calculer l'aire d'un triangle avec la formule base × hauteur ÷ 2 et reconnaître des triangles de même aire.
  • Tracer les médianes d'un triangle, nommer leur point de concours et démontrer qu'une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.

Au programme du chapitre

  1. La somme des angles d'un triangle
  2. Les triangles particuliers et leurs angles
  3. Construire un triangle à partir de données partielles
  4. Médiatrice et cercle circonscrit
  5. Les hauteurs d'un triangle
  6. L'aire d'un triangle
  7. Les médianes d'un triangle
  8. Médiatrice, hauteur, médiane : ne pas les confondre

Exercices corrigés

Exercice 1

Léa a mesuré les trois angles d'un triangle avec son rapporteur : 62∘62^\circ, 61∘61^\circ et 58∘58^\circ. Leur somme est 181∘181^\circ. Léa dit : « Ça prouve que la somme des angles n'est pas toujours 180∘180^\circ. » A-t-elle raison ?
Un coup de pouce
Pense à la précision d'un rapporteur, et à la différence entre une mesure et une démonstration.
Voir la correction pas à pas
Non. Une mesure au rapporteur n'est jamais parfaite : l'épaisseur du trait et la lecture de la graduation font qu'on se trompe facilement d'un degré. Un écart de 1∘1^\circ est normal. La propriété, elle, est démontrée pour tous les triangles avec les angles alternes-internes : une mesure approximative ne peut pas la contredire. Léa devrait plutôt refaire ses mesures avec soin.

Exercice 2

Peut-il exister un triangle avec deux angles droits ? Avec un angle droit et un angle obtus ? Justifie.
Un coup de pouce
Additionne les deux angles et compare avec 180°.
Voir la correction pas à pas
Non, dans les deux cas. Deux angles droits font déjà 90∘+90∘=180∘90^\circ + 90^\circ = 180^\circ : il resterait 0∘0^\circ pour le troisième angle, ce n'est pas un triangle. Un angle droit et un angle obtus (plus de 90∘90^\circ) font plus de 180∘180^\circ : c'est trop, car la somme des trois angles vaut exactement 180∘180^\circ. Un triangle a donc au plus un angle droit ou obtus.

Les pièges à éviter

  • Donner la somme des deux angles connus comme résultat : A^=52∘\widehat{A} = 52^\circ et B^=71∘\widehat{B} = 71^\circ, donc C^=123∘\widehat{C} = 123^\circ.
  • Diviser par 2 dans un triangle qui n'est pas isocèle.
  • Se fier à l'allure d'un dessin : « cet angle a l'air droit, donc il mesure 90∘90^\circ ».
  • Dans un triangle isocèle en AA, croire que l'angle égal à B^\widehat{B} est A^\widehat{A}.

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