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Cinquième · Mathématiques · Chapitre 7

Symétrie centrale (demi-tour), angles et parallélisme

Ce que tu sauras faire

  • Construire le symétrique d'un point, d'un segment ou d'une figure par une symétrie axiale (sur quadrillage ou feuille blanche), puis par un demi-tour.
  • Définir le demi-tour de centre O et citer ses propriétés : il conserve l'alignement, les longueurs, les angles et le parallélisme.
  • Repérer des axes de symétrie et des centres de symétrie dans une frise, un pavage ou une rosace.
  • Nommer et reconnaître les angles nul, aigu, droit, obtus, plat et plein, les angles adjacents, opposés par le sommet et supplémentaires, et la bissectrice.
  • Reconnaître des angles alternes-internes et des angles correspondants, et calculer un angle en justifiant.
  • Expliquer, avec le demi-tour, pourquoi deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles égaux.
  • Démontrer que deux droites sont parallèles en comparant deux angles alternes-internes ou deux angles correspondants.

Au programme du chapitre

  1. Rappel : la symétrie axiale
  2. Le demi-tour, ou symétrie centrale
  3. Les propriétés du demi-tour
  4. Symétries dans les frises, les pavages et les rosaces
  5. Le vocabulaire des angles
  6. Deux parallèles et une sécante
  7. Calculer un angle, démontrer un parallélisme
  8. Les erreurs qui coûtent des points

Exercices corrigés

Exercice 1

Léa définit ainsi le symétrique de M par rapport à O : « C'est le point M' tel que OM′=OMOM' = OM. » Cette définition est-elle suffisante ? Combien de points M' vérifient OM′=OMOM' = OM ?
Un coup de pouce
Dessine le cercle de centre O qui passe par M : tous ses points sont à la même distance de O.
Voir la correction pas à pas
Non, elle est incomplète. Tous les points du cercle de centre O et de rayon OM vérifient OM′=OMOM' = OM : il y en a une infinité. Il manque l'information essentielle : O doit être le milieu de [MM′][MM'], c'est-à-dire que M, O et M' sont alignés avec O entre M et M'. Un seul point du cercle convient : celui qui est diamétralement opposé à M.

Exercice 2

Une rosace est formée de 7 pétales identiques régulièrement répartis. Combien d'axes de symétrie a-t-elle ? A-t-elle un centre de symétrie ? Même question pour une rosace à 12 pétales.
Un coup de pouce
Un demi-tour envoie un pétale « en face ». Y a-t-il toujours un pétale en face quand le nombre de pétales est impair ?
Voir la correction pas à pas
La rosace à 7 pétales a 7 axes de symétrie, mais pas de centre de symétrie : après un demi-tour, un pétale vient en face d'un espace vide, car 7 est impair. La rosace à 12 pétales a 12 axes de symétrie et un centre de symétrie, car 12 est pair : après un demi-tour, chaque pétale vient se placer sur le pétale opposé.

Les pièges à éviter

  • Pour construire le symétrique par rapport à O, reporter la longueur OM du même côté de O et retomber sur M.
  • Confondre axe et centre de symétrie : plier la feuille pour chercher un centre, ou faire un demi-tour pour chercher un axe.
  • Dire que l'image d'une droite par un demi-tour est « à l'envers » ou se coupe avec elle.
  • Écrire qu'une rosace de 5 pétales a un centre de symétrie.

Pour aller plus loin

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