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Cinquième · Mathématiques · Chapitre 9

Parallélogrammes et parallélogrammes particuliers : construction, propriétés caractéristiques, aires

Ce que tu sauras faire

  • Définir le parallélogramme et construire un parallélogramme avec sa définition, avec ses diagonales ou avec ses côtés opposés égaux.
  • Citer les propriétés caractéristiques des côtés opposés et des diagonales d'un parallélogramme et expliquer, avec le demi-tour, pourquoi les diagonales se coupent en leur milieu.
  • Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en citant la propriété utilisée.
  • Définir le rectangle, le losange et le carré, citer leurs propriétés caractéristiques et les utiliser pour construire ou pour justifier la nature d'un quadrilatère.
  • Reconnaître, en justifiant, un quadrilatère, un trapèze, un pentagone ou un hexagone dans une figure complexe, en exploitant son codage.
  • Calculer l'aire d'un parallélogramme (base × hauteur) et celle d'une figure complexe en la décomposant ou en la complétant.
  • Convertir des longueurs et des aires, et résoudre un problème qui les utilise, y compris avec l'échelle d'une carte.

Au programme du chapitre

  1. Les quadrilatères : le vocabulaire
  2. Le parallélogramme et sa construction
  3. Les propriétés caractéristiques
  4. Rectangle, losange, carré
  5. Reconnaître et justifier dans une figure
  6. L’aire d’un parallélogramme
  7. Conversions d’unités de longueur et d’aire
  8. Les erreurs qui coûtent des points

Exercices corrigés

Exercice 1

Pourquoi dit-on que « les diagonales se coupent en leur milieu » est une propriété caractéristique du parallélogramme, alors que « les diagonales se coupent » n’en est pas une ?
Un coup de pouce
Cherche un quadrilatère non croisé qui n’est pas un parallélogramme : ses diagonales se coupent-elles ?
Voir la correction pas à pas
Les diagonales de beaucoup de quadrilatères non croisés se coupent (c’est le cas d’un trapèze, d’un cerf-volant…) : cette propriété ne permet de reconnaître rien de particulier. Au contraire, « les diagonales ont le même milieu » est vrai dans tous les parallélogrammes et seulement dans eux : si un quadrilatère la possède, c’est forcément un parallélogramme. Une propriété caractéristique marche dans les deux sens.

Exercice 2

Un parallélogramme peut-il avoir exactement trois angles droits ? Et exactement un seul angle droit ?
Un coup de pouce
Utilise « angles opposés égaux » et « angles consécutifs supplémentaires ».
Voir la correction pas à pas
Non dans les deux cas. Si un angle est droit, l’angle opposé l’est aussi (angles opposés égaux), et chacun des deux autres vaut 180−90=90∘180 - 90 = 90^\circ (angles consécutifs supplémentaires). Un parallélogramme qui a un angle droit en a donc quatre : c’est un rectangle.

Les pièges à éviter

  • Dire « les diagonales ont la même longueur, donc c’est un rectangle ».
  • Conclure « parallélogramme » parce que deux côtés opposés sont égaux.
  • Écrire ABDC au lieu de ABCD pour nommer le quadrilatère.
  • Croire qu’un parallélogramme quelconque a des axes de symétrie.

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