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Cinquième · Mathématiques · Chapitre 3

Fractions : comparer, additionner et soustraire

Ce que tu sauras faire

  • Expliquer qu'une fraction est un quotient : ab\dfrac{a}{b} est le nombre qui, multiplié par bb, donne aa (par exemple 3×73=73 \times \dfrac{7}{3} = 7), et lire une fraction sur une droite graduée.
  • Reconnaître des fractions égales et en produire (par exemple 23=1015\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}).
  • Comparer des fractions en choisissant la méthode la plus adaptée : même dénominateur, comparaison à 0,50{,}5 ou à 1, fractions égales.
  • Écrire une fraction supérieure à 1 sous la forme d'un entier plus une fraction inférieure à 1 (par exemple 175=3+25\dfrac{17}{5} = 3 + \dfrac{2}{5}), et inversement.
  • Additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques, en écrivant les multiples des dénominateurs pour trouver un dénominateur commun.
  • Calculer une fraction d'une quantité (le tiers de 18), 1 %, 10 % et 50 % d'un nombre, et passer d'une écriture à l'autre pour un même nombre (1,2=1210=65=1201{,}2 = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5} = 120 %).
  • Résoudre un problème en plusieurs étapes à l'aide d'un modèle en barres.

Au programme du chapitre

  1. Une fraction est un nombre : le quotient
  2. Fractions égales
  3. Comparer des fractions
  4. Un entier plus une fraction inférieure à 1
  5. Additionner et soustraire des fractions
  6. Prendre une fraction d'une quantité
  7. 1 %, 10 % et 50 % d'un nombre
  8. Un même nombre, plusieurs écritures
  9. Résoudre un problème avec un modèle en barres

Exercices corrigés

Exercice 1

Tom calcule 12+13\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} en « additionnant les numérateurs et les dénominateurs » : il trouve 25\dfrac{2}{5}. Explique pourquoi ce résultat est impossible, sans refaire tout le calcul. Puis donne le bon résultat.
Un coup de pouce
Compare le résultat de Tom à la première fraction de la somme.
Voir la correction pas à pas
Une somme de nombres positifs est plus grande que chacun de ses termes. Or 25=0,4\dfrac{2}{5} = 0{,}4 est plus petit que 12=0,5\dfrac{1}{2} = 0{,}5 : le résultat de Tom est impossible. Son erreur est d'avoir additionné les dénominateurs. Des demis et des tiers ne sont pas des parts de même taille : on les découpe en sixièmes. 12=36\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} et 13=26\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}, donc 12+13=36+26=56\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}.

Exercice 2

Lola affirme : « Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est grande. » Compare 18\dfrac{1}{8} et 13\dfrac{1}{3} en imaginant deux tablettes de chocolat identiques. Que penses-tu de l'affirmation ? Dans quel cas la règle inverse « le plus petit dénominateur donne la plus grande fraction » est-elle vraie ?
Un coup de pouce
Dessine deux tablettes identiques, l'une coupée en 8 et l'autre en 3.
Voir la correction pas à pas
Une tablette coupée en 8 parts égales donne des parts plus petites qu'une tablette coupée en 3 parts égales : 18<13\dfrac{1}{8} \lt \dfrac{1}{3}. L'affirmation de Lola est fausse. La règle inverse est vraie quand les deux fractions ont le même numérateur, c'est-à-dire quand on prend le même nombre de parts : 37<35\dfrac{3}{7} \lt \dfrac{3}{5}. Avec des numérateurs différents, elle ne suffit plus : 13\dfrac{1}{3} a le plus petit dénominateur des deux fractions 13\dfrac{1}{3} et 56\dfrac{5}{6}, et pourtant 13<56\dfrac{1}{3} \lt \dfrac{5}{6}.

Les pièges à éviter

  • Additionner aussi les dénominateurs : 12+13=25\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}, ou 35+45=710\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{7}{10}.
  • Écrire que 23=45\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{5} parce qu'on a ajouté 2 en haut et en bas.
  • Penser que plus le dénominateur est grand, plus la fraction est grande : 18>13\dfrac{1}{8} \gt \dfrac{1}{3}.
  • Comparer deux fractions de dénominateurs différents en ne regardant que les numérateurs : 35>23\dfrac{3}{5} \gt \dfrac{2}{3} parce que 3>23 \gt 2.

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