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Terminale · Mathématiques complémentaires · Chapitre 1

Modèles d'évolution : suites, fonctions et taux

Ce que tu sauras faire

  • Reconnaître, sur une situation concrète, si une évolution se modélise par une suite arithmétique ou par une suite géométrique
  • Passer d'un taux d'évolution à un coefficient multiplicateur, et réciproquement
  • Enchaîner plusieurs évolutions en multipliant les coefficients, et calculer l'évolution réciproque
  • Calculer un taux moyen et expliquer pourquoi ce n'est pas la moyenne des taux
  • Déterminer le sens de variation et la limite d'une suite géométrique, et traduire cette limite dans le langage de la situation
  • Déterminer un seuil par balayage, à la calculatrice, au tableur ou avec un programme, et interpréter le rang obtenu
  • Passer du modèle discret au modèle continu f(x)=v0×qxf(x)=v_0\times q^{x} et interpréter une valeur intermédiaire

Au programme du chapitre

  1. L'évolution à variation absolue constante : la suite arithmétique
  2. L'évolution à variation relative constante : la suite géométrique
  3. Taux d'évolution et coefficient multiplicateur
  4. Évolutions successives et évolution réciproque
  5. Le taux moyen : la racine, pas la moyenne
  6. Sens de variation et limite d'une suite géométrique
  7. Déterminer un seuil
  8. Du discret au continu : la fonction exponentielle de base qq

Exercices corrigés

Exercice 1

Une association annonce : « nos adhérents ont augmenté de 30 % l'an dernier et de 30 % cette année, donc de 60 % en deux ans. » Où est l'erreur, et que vaut réellement la hausse ?
Un coup de pouce
Pars de 100 et applique les deux évolutions l'une après l'autre.
Voir la correction pas à pas
L'erreur est d'additionner les taux. Les coefficients multiplicateurs se multiplient : 1,30×1,30=1,691{,}30\times 1{,}30=1{,}69, soit une hausse globale de 69 %, et non de 60 %. La différence de 9 points vient de la seconde hausse, qui porte sur un effectif déjà augmenté. Pour s'en convaincre, il suffit de partir de 100 adhérents : 100, puis 130, puis 169.

Exercice 2

Une suite géométrique de raison 0,90{,}9 et de premier terme 500 tend vers 0. Peut-on en conclure qu'un jour elle vaudra exactement 0 ?
Un coup de pouce
Un produit de nombres strictement positifs peut-il être nul ?
Voir la correction pas à pas
Non. Tous les termes s'écrivent 500×0,9 n500\times 0{,}9^{\,n}, produit de deux nombres strictement positifs : aucun terme n'est nul. Dire que la suite tend vers 0 signifie qu'elle devient aussi proche de 0 que l'on veut pourvu que nn soit assez grand, pas qu'elle atteigne 0. Dans une situation concrète, on traduit cela par : la grandeur devient négligeable, et l'on précise à partir de quel rang elle passe sous un seuil donné.

Les pièges à éviter

  • Additionner les taux d'évolutions successives : « +20+20 % puis +30+30 %, donc +50+50 % ».
  • Croire qu'une hausse de tt % suivie d'une baisse de tt % ramène au point de départ.
  • Prendre pour évolution réciproque d'une hausse de tt % une baisse de tt %.
  • Calculer un taux moyen comme la moyenne arithmétique des taux.

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