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Première · Mathématiques — voie technologique · Chapitre 1

Suites et modèles d’évolution

Ce que tu sauras faire

  • Lire et employer la notation unu_n, distinguer le rang et le terme, et remplir un tableau de valeurs
  • Calculer les termes d’une suite définie de façon explicite ou par une relation de récurrence
  • Reconnaître une suite arithmétique, donner sa raison, son terme général, son sens de variation, et sommer ses termes
  • Passer d’un taux d’évolution à un coefficient multiplicateur, et réciproquement
  • Enchaîner plusieurs évolutions, revenir en arrière (évolution réciproque) et calculer un taux moyen
  • Reconnaître une suite géométrique, donner sa raison, son terme général et son sens de variation
  • Représenter une suite et déterminer un seuil à la calculatrice ou au tableur
  • Choisir entre un modèle arithmétique et un modèle géométrique devant une situation réelle, et dire ce que le modèle ne dit pas

Au programme du chapitre

  1. Une suite : une liste de nombres numérotés
  2. Deux façons de fabriquer une suite
  3. Suites arithmétiques : on ajoute toujours la même chose
  4. La somme des termes d’une suite arithmétique
  5. Taux d’évolution et coefficient multiplicateur
  6. Évolutions successives, évolution réciproque, taux moyen
  7. Suites géométriques : on multiplie toujours par la même chose
  8. Tableau de valeurs, graphique, et recherche d’un seuil
  9. Choisir un modèle — et dire ce qu’il ne dit pas

Exercices corrigés

Exercice 1

Un vendeur affirme : « J’ai augmenté mon prix de 20 %, puis je l’ai baissé de 20 % : vous payez donc le prix de départ. » A-t-il raison ?
Un coup de pouce
Prends un prix précis, par exemple 250 €, et fais réellement les deux calculs l’un après l’autre. Demande-toi sur quelle somme porte la baisse.
Voir la correction pas à pas
Non. La hausse porte sur le prix de départ, la baisse porte sur le prix déjà augmenté, qui est plus grand : on retire donc plus qu’on n’a ajouté. En coefficients : 1,2×0,8=0,961{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96, soit une baisse de 4 %. Sur un prix de 250 €, on passe à 300 €, puis à 240 € — et non à 250 €. L’ordre des deux évolutions ne change rien, puisque 0,8×1,2=0,960{,}8\times 1{,}2 = 0{,}96 aussi.

Exercice 2

Une élève calcule u1−u0=5u_1-u_0 = 5 et u2−u1=5u_2-u_1 = 5, et conclut que la suite est arithmétique de raison 5. Que penses-tu de sa conclusion ?
Un coup de pouce
Essaie d’inventer une suite dont les deux premières différences valent 5 mais qui n’est pas arithmétique.
Voir la correction pas à pas
Elle est trop rapide. Pour qu’une suite soit arithmétique, il faut que la différence un+1−unu_{n+1}-u_n soit la même pour tout rang, pas seulement pour les deux premiers. Deux différences égales peuvent très bien être suivies d’une troisième différente : la suite 1 ; 6 ; 11 ; 20 commence par deux différences de 5 et n’est pas arithmétique. En revanche, si l’énoncé affirme que la suite est arithmétique, ou si la situation décrit un ajout constant, alors une seule différence suffit à trouver la raison.

Les pièges à éviter

  • Additionner les taux d’évolutions successives : « +20+20 % puis −20 %, donc 0 % ».
  • Prendre la moyenne des taux pour taux moyen : « +20+20 % puis +5+5 %, donc 12,512{,}5 % par an ».
  • Revenir à la valeur initiale en retranchant le même pourcentage : après +12+12 %, on croit retrouver le prix en baissant de 12 %.
  • Se tromper sur le nombre de termes d’une somme : croire qu’il y a 19 termes de u0u_0 à u19u_{19}.

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