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Terminale · Mathématiques expertes · Chapitre 1

Nombres complexes : algébrique, trigonométrique et équations

Ce que tu sauras faire

  • Calculer dans C\mathbb{C} sous forme algébrique : somme, produit, inverse, quotient, puissances de ii
  • Utiliser le conjugué et le module, et démontrer leurs propriétés algébriques
  • Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et à la forme exponentielle, et réciproquement
  • Déterminer un argument, et raisonner correctement modulo 2π2\pi
  • Appliquer les formules de Moivre et d'Euler : puissances, linéarisation, angle moitié
  • Résoudre dans C\mathbb{C} une équation du second degré à coefficients réels, et factoriser un polynôme à racine complexe
  • Déterminer les racines nn-ièmes de l'unité et résoudre zn=az^n=a
  • Traduire en nombres complexes une configuration du plan : distance, angle, alignement, orthogonalité, transformation

Au programme du chapitre

  1. L'ensemble C\mathbb{C} et la forme algébrique
  2. Opérations et conjugué
  3. Le module
  4. Le plan complexe
  5. Forme trigonométrique et argument
  6. Forme exponentielle, Moivre et Euler
  7. Équations du second degré à coefficients réels
  8. Racines nn-ièmes de l'unité
  9. Premières applications géométriques

Exercices corrigés

Exercice 1

Un élève écrit Im⁡(3−5i)=−5i\operatorname{Im}(3-5i)=-5i. Corrige, et explique pourquoi cette confusion est dangereuse dans la suite du chapitre.
Un coup de pouce
Relis la définition : dans z=a+ibz=a+ib, quelle lettre désigne la partie imaginaire, et à quel ensemble appartient-elle ?
Voir la correction pas à pas
La partie imaginaire est le réel −5, pas −5i-5i : par définition, si z=a+ibz=a+ib avec aa et bb réels, alors Im⁡(z)=b\operatorname{Im}(z)=b. Donc Im⁡(3−5i)=−5\operatorname{Im}(3-5i)=-5.
La confusion est dangereuse pour deux raisons. D'abord, la caractérisation « zz réel   ⟺  Im⁡(z)=0\iff\operatorname{Im}(z)=0 » devient inutilisable si l'on ne sait pas ce qu'est Im⁡(z)\operatorname{Im}(z). Ensuite, dans le calcul du module, ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} : si l'on remplaçait bb par ibib, on obtiendrait a2−b2\sqrt{a^{2}-b^{2}}, qui peut même ne pas exister dans R\mathbb{R}. Ici, ∣3−5i∣=9+25=34|3-5i|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}, et non 9−25\sqrt{9-25}.
Moyen mnémotechnique : Re⁡\operatorname{Re} et Im⁡\operatorname{Im} renvoient toujours des réels.

Exercice 2

Pour déterminer un argument de zz, un élève résout seulement cos⁡θ=a∣z∣\cos\theta=\dfrac{a}{|z|}. Pourquoi cela ne suffit-il jamais ? Illustre avec z=1−i3z=1-i\sqrt{3}.
Un coup de pouce
Trace le cercle trigonométrique et repère tous les angles ayant un cosinus donné : combien y en a-t-il dans un tour complet ?
Voir la correction pas à pas
L'équation cos⁡θ=c\cos\theta=c admet, modulo 2π2\pi, deux solutions opposées θ\theta et −θ-\theta (sauf si c=±1c=\pm 1). Le cosinus seul ne distingue donc pas le demi-plan supérieur du demi-plan inférieur : il faut le sinus pour trancher.
Exemple. z=1−i3z=1-i\sqrt{3} a pour module 1+3=2\sqrt{1+3}=2, donc z=2(12−i32)z=2\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right). L'équation cos⁡θ=12\cos\theta=\dfrac{1}{2} donne θ=π3\theta=\dfrac{\pi}{3} ou θ=−π3\theta=-\dfrac{\pi}{3}. C'est le sinus qui décide : il vaut −32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, qui est négatif, donc θ=−π3\theta=-\dfrac{\pi}{3}.
Si l'on avait retenu π3\dfrac{\pi}{3}, on aurait obtenu 1+i31+i\sqrt{3} : le conjugué, c'est-à-dire un autre nombre.

Les pièges à éviter

  • Confondre la partie imaginaire bb avec ibib : écrire Im⁡(3−5i)=−5i\operatorname{Im}(3-5i)=-5i.
  • Comparer deux complexes : écrire z>0z\gt 0, ou « z1z_1 est plus grand que z2z_2 ».
  • Écrire −9=3i\sqrt{-9}=3i comme s'il s'agissait d'une racine carrée ordinaire.
  • Déterminer un argument à partir du seul cosinus, et obtenir le conjugué du nombre cherché.

Pour aller plus loin

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